课时提升作业(十四)
一、选择题
1.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a=( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
2.(2013·榆林模拟)函数y=(3-x2)ex的递增区间是( )
(A)(-∞,0)
(B)(0,+∞)
(C)(-∞,-3)和(1,+∞)
(D)(-3,1)
3.(2013·铜川模拟)对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是( )
(A)0≤a≤21 (B)a=0或a=7
(C)a<0或a>21 (D)a=0或a=21
4.(2013·九江模拟)已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且满足以下条件:
①f(x)=ax·g(x)(a>0,a≠1);
②g(x)≠0;
③f(x)·g′(x)>f′(x)·g(x).
若+=,则a等于( )
(A) (B)2 (C) (D)2或
5.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是先增后减的函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像可能是( )
6.(2013·池州模拟)设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图像不可能为y=f(x)的图像是( )
二、填空题
7.若x∈[0,2π],则函数y=sinx-xcosx的递增区间是 .
8.若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为 .
9.(2013·抚州模拟)对于函数f(x)=-2cosx(x∈[0,π])与函数g(x)=x2+lnx有下列命题:
①函数f(x)的图像关于x=对称;
②函数g(x)有且只有一个零点;
③函数f(x)和函数g(x)图像上存在平行的切线;
④若函数f(x)在点P处的切线平行于函数g(x)在点Q处的切线,则直线PQ的斜率为.
其中正确的命题是 .(将所有正确命题的序号都填上)
三、解答题
10.(2013·合肥模拟)已知函数f(x)=x3-x2+x+b,其中a,b∈R.
(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析式.
(2)当a>0时,讨论函数f(x)的单调性.
11.已知函数f(x)=alnx-2ax+3(a≠0).
(1)设a=-1,求函数f(x)的极值.
(2)在(1)的条件下,若函数g(x)=x3+x2[f′(x)+m](其中f′(x)为f(x)的导数)在区间(1,3)上不是单调函数,求实数m的取值范围.
12.(能力挑战题)已知函数f(x)=
的图像过点(-1,2),且在x=处取得极值.
(1)求实数b,c的值.
(2)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值.
答案解析
1.【解析】选D.因为f(x)=x3+ax2+3x-9,所以f′(x)=3x2+2ax+3,由题意有
f′(-3)=0,所以3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,由此解得a=5.
2.【解析】选D.y′=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3)>0?x2+2x-3<0?-30,即xsinx>0,又x∈[0,2π],得01,函数f(x)在区间(-∞,1)及(,+∞)上是增加的,在区间(1,)上是减少的;
当a=1时,=1,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是增加的;
当a>1时,<1,函数f(x)在区间(-∞,)及(1,+∞)上是增加的,在区间(,1)上是减少的.
11.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=-lnx+2x+3(x>0),f′(x)=+2,
∴f(x)的单调递减区间为(0,),递增区间为(,+∞),f(x)的极小值是f()=-ln+2×+3=ln2+4.
(2)g(x)=x3+(-+2+m)x2,
∴g′(x)=x2+(4+2m)x-1,
∵g(x)在区间(1,3)上不是单调函数,且g′(0)=-1,
∴∴即-0得00时,f(x)在[1,e]上是增加的,
∴f(x)在[1,e]上的最大值为a.
∴当a≥2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为a;
当a<2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为2.
【变式备选】设f(x)=-x3+x2+2ax.
(1)若f(x)在(,+∞)上存在递增区间,求a的取值范围.
(2)当00?a>-.
(2)已知00,
f′(4)=-16+4+2a=2a-12<0,
则必有一点x0∈[1,4]使得f′(x0)=0,此时函数f(x)在[1,x0]上是增加的,在[x0,4]上是减少的,
f(1)=-++2a=+2a>0,
∴f(4)=-×64+×16+8a=-+8a,
∴-+8a=-,得a=1,
此时,由f′(x0)=-+x0+2=0得x0=2或-1(舍去),
所以函数f(x)max=f(2)=.
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