第2讲 动能定理及其应用
(对应学生用书第74页)
动 能
1.公式：Ek＝mv2，式中v为瞬时速度．
2．矢标性
动能是标量，只有正值，动能与速度的方向无关．
3．动能的变化量
ΔEk＝mv－mv.
【针对训练】
1．关于动能的理解，下列说法正确的是( )
A．动能是机械能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能
B．物体的动能总为正值
C．一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
【解析】 动能是运动物体都具有的能量，是机械能的一种表现形式，A对；动能是标量，总是正值，B对；由Ek＝mv2可知当m恒定时，Ek变化，速率一定变化，速度一定变化，但当速度方向变化速率不变(如匀速圆周运动)时动能不变，C对；动能不变，物体不一定处于平衡状态，如匀速圆周运动，D错．
【答案】 ABC
动 能 定 理
1.内容
合外力对物体所做的功等于物体动能的增量．
2．表达式
W＝ΔEk＝mv－mv.
3．功与动能的关系
(1)W>0，物体的动能增加．
(2)W<0，物体的动能减少．
(3)W＝0，物体的动能不变．
4．适用条件
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．
(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功．
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用．
【针对训练】
2．(2013届辽宁省实验中学检测)木球从水面上方某位置由静止开始自由下落，落入水中又继续下降一段距离后速度减小到零．把木球在空中下落过程叫做Ⅰ过程，在水中下落过程叫做Ⅱ过程．不计空气和水的摩擦阻力．下列说法中正确的是( )
A．第Ⅰ阶段重力对木球做的功等于第Ⅱ阶段木球克服浮力做的功
B．第Ⅰ阶段重力对木球做的功大于第Ⅱ阶段木球克服浮力做的功
C．第Ⅰ、第Ⅱ阶段重力对木球做的总功和第Ⅱ阶段合力对木球做的功的代数和为零
D．第Ⅰ、第Ⅱ阶段重力对木球做的总功等于第Ⅱ阶段木球克服浮力做的功
【解析】 根据动能定理，全过程合外力做功为零，所以，只有D项正确．
【答案】 D
(对应学生用书第75页)
对动能定理的理解
1.总功的计算
物体受到多个外力作用时，计算合外力的功，要考虑各个外力共同做功产生的效果，一般有如下两种方法：
(1)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W＝F合lcos α计算．
(2)由W＝Flcos α计算各个力对物体做的功W1、W2、…Wn然后将各个外力所做的功求代数和，即
W合＝W1＋W2＋…＋Wn.
2．动能定理公式中等号的意义
(1)数量关系：即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系．可以通过计算物体动能的变化，求合力的功，进而求得某一力的功．
(2)单位相同：国际单位都是焦耳．
(3)因果关系：合外力的功是物体动能变化的原因．
3．动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面为参考系．
动能定理指出的是功与动能增量的一种等效替代关系，合外力做功是物体动能变化的原因，而不能说力对物体做的功转变成物体的动能．
(2013届中山模拟)质量为m的物体在水平力F的作用下由静止开始在光滑地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v，再前进一段距离使物体的速度增大为2v，则( )
A．第二过程的速度增量等于第一过程的速度增量
B．第二过程的动能增量是第一过程动能增量的3倍
C．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功
D．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的2倍
【解析】 由题意知，两个过程中速度增量均为v，A正确；由动能定理知：W1＝mv2，W2＝m(2v)2－mv2＝mv2，故B正确，C、D错误．
【答案】 AB
【即学即用】
1.
图5－2－1
(2013届大连一中检测)某物体同时受到两个在同一直线上的力F1、F2的作用，由静止开始做直线运动，力F1、F2与位移x的关系图象如图5－2－1所示，在物体开始运动后的前4.0 m内，物体具有最大动能时对应的位移是( )
A．2.0 m B．1.0 m
C．3.0 m D．4.0 m
【解析】 由图知x＝2.0 m时，F合＝0，此前F合做正功而此后F合做负功，故x＝2.0 m时动能最大．
【答案】 A
动能定理的应用
1.基本步骤
(1)选取研究对象，明确它的运动过程．
(2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：
―→―→―→―→
(3)明确物体在过程的始末状态的动能Ek1和Ek2.
(4)列出动能定理的方程W合＝Ek2－Ek1及其他必要的解题方程，进行求解．
2．注意事项
(1)动能定理的研究对象可以是单一物体，或者是可以看做单一物体的物体系统．
(2)动能定理是求解物体的位移或速率的简捷公式．当题目中涉及到位移和速度而不涉及时间时可优先考虑动能定理；处理曲线运动中的速率问题时也要优先考虑动能定理．
(3)若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑，也可整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程都做功，必须根据不同的情况分别对待求出总功．
(4)应用动能定理时，必须明确各力做功的正、负．当一个力做负功时，可设物体克服该力做功为W，将该力做功表达为－W，也可以直接用字母W表示该力做功，使其字母本身含有负号．
(2012·江苏高考)某缓冲装置的理想模型如图5－2－2所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为f.轻杆向右移动不超过l时，装置可安全工作．一质量为m的小车若以速度v0撞击弹簧，将导致轻杆向右移动.轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦．
图5－2－2
(1)若弹簧的劲度系数为k，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量x；
(2)求为使装置安全工作，允许该小车撞击的最大速度vm；
(3)讨论在装置安全工作时，该小车弹回速度v′和撞击速度v的关系．
【审题视点】 (1)轻杆刚开始移动时，应满足什么条件？
(2)撞击速度最大时，不应超出杆移动的安全范围．
(3)小车反弹时，应满足什么条件．
【解析】 (1)轻杆开始移动时，弹簧的弹力F＝kx①
且F＝f②
解得x＝.③
(2)设轻杆移动前小车对弹簧所做的功为W，则小车从撞击到停止的过程中
由动能定理得：－f·－W＝0－mv④
同理，小车以vm撞击弹簧时，－fl－W＝0－mv⑤
解得vm＝.⑥
(3)设轻杆恰好移动时，小车撞击速度为v1
mv＝W⑦
由④⑦解得v1＝
当v＜ 时，v′＝v
当 ≤v≤ 时，v′＝.
【答案】 (1) (2)
(3)当v＜ 时，v′＝v
当 ≤v≤ 时，v′＝
【即学即用】
2．(2013届济南一中模拟)如图5－2－3甲所示，一质量为m＝1 kg的物块静止在粗糙水平面上的A点，从t＝0时刻开始，物块受到按如图乙所示规律变化的水平力F作用并向右运动，第3 s末物块运动到B点时速度刚好为0，第5 s末物块刚好回到A点，已知物块与粗糙水平面之间的动摩擦因数μ＝0.2，(g取10 m/s2)求：
图5－2－3
(1)A与B间的距离；
(2)水平力F在5 s内对物块所做的功．
【解析】 (1)在3 s～5 s内物块在水平恒力F作用下由B点匀加速运动到A点，设加速度为a，A与B间的距离为x，则F－μmg＝ma
得a＝2 m/s2
x＝at2＝4 m.
(2)设物块回到A点时的速度为vA，
由v＝2ax 得vA＝4 m/s
设整个过程中F做的功为WF，
由动能定理得：WF－2μmgx＝mv
解得：WF＝24 J.
【答案】 (1)4 m (2)24 J
(对应学生用书第76页)
利用动能定理求变力功
1.如果是恒力做功问题往往直接用功的定义式可以求解，但遇到变力做功问题须借助动能定理等功能关系进行求解；分析清楚物理过程和各个力的做功情况后，运用动能定理可简化解题步骤．
2．动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的，但对于外力是变力、物体做曲线运动的情况同样适用．也就是说，动能定理适用于任何力作用下、以任何形式运动的物体为研究对象，具有普遍性．
3．应用动能定理求变力的功时，必须知道始末两个状态的物体的速度，以及运动过程中除变力做功外，其他力做的功．
(2013届西安交大附中检测)总质量为80 kg的跳伞运动员从离地500 m的直升机上跳下，经过2 s拉开绳索开启降落伞，图5－2－4是跳伞过程中的v－t图象，试根据图象求：(g取10 m/s2)
图5－2－4
(1)求t＝1 s时运动员的加速度和所受阻力的大小．
(2)估算14 s内运动员下落的高度及克服阻力做的功．
(3)估算运动员从飞机上跳下到着地的总时间．
【潜点探究】 (1)由图象可以看出运动员在前2 s内做匀加速直线运动，进而推知阻力恒定；
(2)v－t图象与t轴所围的面积表示运动员下落的高度；
(3)2～14 s内阻力是变力，无法直接求变力功，可考虑动能定理．
【规范解答】 (1)从图中可以看出，在0～2 s运动员做匀加速运动，其加速度大小为：
a＝＝ m/s2＝8 m/s2
设此过程中运动员受到的阻力大小Ff，根据牛顿第二定律，有：mg－Ff＝ma
得Ff＝m(g－a)＝80×(10－8) N＝160 N.
(2)从图中估算得出运动员在14 s内下落了
h＝39×2×2 m＝156 m
根据动能定理，有：mgh－Wf＝mv2
所以有：Wf＝mgh－mv2
＝(80×10×156－×80×62) J≈1.23×105 J。
(3)14 s后运动员做匀速运动的时间为：
t′＝＝ s＝57.3 s
运动员从飞机上跳下到着地需要的总时间
t总＝t＋t′＝(14＋57.3) s＝71.3 s
【答案】 (1)8 m/s2 160 N (2)156 m 1.23×105 J
(3)71.3 s
【即学即用】
3.
图5－2－5
质量为m的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动如图5－2－5所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用，设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为( )
A.mgR B.mgR
C.mgR D．mgR
【解析】 设小球通过最低点时绳子张力为FT1，根据牛顿第二定律：
FT1－mg＝m
将FT1＝7mg代入得Ek1＝mv＝3mgR
经过半个圆周恰能通过最高点，则mg＝m
此时小球的动能Ek2＝mv＝mgR
从最低点到最高点应用动能定理：
－Wf－mg·2R＝Ek2－Ek1
所以Wf＝mgR
故选项C正确．
【答案】 C
(对应学生用书第77页)
●对动能的考查
1．(2011·新课标全国高考)一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用．此后，该质点的动能可能( )
A．一直增大
B．先逐渐减小至零，再逐渐增大
C．先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小
D．先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大
【解析】 当恒力方向与质点原来速度方向相同时，质点的动能一直增大，故A正确．当恒力方向与质点原来速度方向相反时，速度先逐渐减小到零再逐渐增大，质点的动能也先逐渐减小到零再逐渐增大，故B正确．当恒力方向与原来质点的速度方向夹角大于90°时，将原来速度v0分解为平行恒力方向的vy、垂直恒力方向的vx，如图(1)，vy先逐渐减小至零再逐渐增大，vx始终不变．v＝，质点速度v先逐渐减小至vx再逐渐增大，质点的动能先减小至某一非零的最小值，再逐渐增大，故D正确．当恒力方向与v0方向夹角小于90°时，如图(2)，vy一直增大，vx始终不变，质点速度v逐渐增大．动能一直增大，没有其他情况，故C错误．
图(1) 图(2)
【答案】 ABD
●动能定理应用于抛体运动
2.
图5－2－6
(2011·山东高考)如图5－2－6所示，将小球a从地面以初速度v0竖直上抛的同时，将另一相同质量的小球b从距地面h处由静止释放，两球恰在处相遇(不计空气阻力)．则( )
A．两球同时落地
B．相遇时两球速度大小相等
C．从开始运动到相遇，球a动能的减少量等于球b动能的增加量
D．相遇后的任意时刻，重力对球a做功功率和对球b做功功率相等
【解析】 对b球，由＝gt2得t＝ ，vb＝gt＝.以后以初速度匀加速下落．对a球，＝v0t－gt2得v0＝，在处，va＝v0－gt＝0，以后从处自由下落．故落地时间tbPa，选项D错误．
【答案】 C
●动能定理与平抛运动的综合
3．(2012·北京高考)如图5－2－7所示，质量为m的小物块在粗糙水平桌面上做直线运动，经距离l后以速度v飞离桌面，最终落在水平地面上．已知l＝1.4 m，v＝3.0 m/s，m＝0.10 kg，物块与桌面间的动摩擦因数μ＝0.25，桌面高h＝0.45 m．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.求：
图5－2－7
(1)小物块落地点到飞出点的水平距离s；
(2)小物块落地时的动能Ek；
(3)小物块的初速度大小v0.
【解析】 (1)由平抛运动规律，有
竖直方向h＝gt2
水平方向s＝vt
得水平距离s＝v＝0.90 m.
(2)由机械能守恒定律，动能Ek＝mv2＋mgh＝0.90 J.
(3)由动能定理，有－μmg·l＝mv2－mv
得初速度大小v0＝＝4.0 m/s.
【答案】 (1)0.90 m (2)0.90 J (3)4.0 m/s
●动能定理与图象综合
4．(2013届西安一中检测)质量为1 500 kg的汽车在平直的公路上运动，v－t图象如图5－2－8所示．由此可求( )
图5－2－8
A．前25 s内汽车的平均速度
B．前10 s内汽车的加速度
C．前10 s内汽车所受的阻力
D．15～25 s内合外力对汽车所做的功
【解析】 由图象可求前25秒内的位移，即图象与时间轴围成区域的面积，再由＝可求平均速度，故A对．前10秒图象的斜率即为前10秒内的加速度，故B对．前10秒汽车的牵引力大小未知，因此汽车所受阻力不能求，故C错．由动能定理，合外力所做的功与动能增量相等，故D对．正确答案为A、B、D.
【答案】 ABD
●动能定理求变力功
5．(2012·福建高考)如图5－2－9所示，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边．已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船受到的阻力大小恒为f，经过A点时的速度大小为v0，小船从A点
沿直线加速运动到B点经历时间为t1，A、B两点间距离为d，缆绳质量忽略不计．求：
图5－2－9
(1)小船从A点运动到B点的全过程克服阻力做的功Wf；
(2)小船经过B点时的速度大小v1；
(3)小船经过B点时的加速度大小a.
【解析】 (1)小船从A点运动到B点克服阻力做功
Wf＝fd.①
(2)小船从A点运动到B点，电动机牵引缆绳对小船做功
W＝Pt1②
由动能定理有
W－Wf＝mv－mv③
由①②③式解得v1＝.④
(3)设小船经过B点时缆绳的拉力大小为F，绳与水平方向夹角为θ，电动机牵引缆绳的速度大小为v，则
P＝Fv⑤
v＝v1cos θ⑥
由牛顿第二定律有
Fcos θ－f＝ma⑦
由④⑤⑥⑦式解得a＝－.
【答案】 (1)fd (2)
(3)－
【点此下载】