第3讲　机械能守恒定律及其应用
(对应学生用书第78页)
重力势能与弹性势能  1.重力势能 (1)重力做功的特点 ①重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关． ②重力做功不引起物体机械能的变化． (2)重力势能 ①公式：Ep＝mgh. ②矢标性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同． ③系统性：重力势能是物体和地球共有的． ④相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关．重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关． (3)重力做功与重力势能变化的关系 ①定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加． ②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp. 2．弹性势能 (1)大小：弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及劲度系数有关． (2)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增加．


【针对训练】 1.
图5－3－1 “蹦极”是一项非常刺激的体育运动．如图5－3－1所示，运动员身系弹性绳自高空中Q点自由下落，图中a是弹性绳的原长位置，c是运动员所到达的最低点，b是运动员静止地悬吊着时的平衡位置．则(　　) A．由Q到c的整个过程中，运动员的动能及重力势能之和守恒 B．由a下降到c的过程中，运动员的动能一直减小 C．由a下降到c的过程中，运动员的动能先增大后减小 D．由a下降到c的过程中，弹性绳的弹性势能一直增大 【解析】　由Q到c的整个过程中，运动员的动能、重力势能和弹性绳的弹性势能之和守恒，A错误；由a下降到c的过程中，运动员的动能先增大后减小，B错误，C正确；由a下降到c的过程中，弹性绳的伸长量不断增加，故弹性势能一直增大，D选项也正确． 【答案】　CD
机械能守恒定律  1.内容 在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变． 2．机械能守恒的条件 只有重力或弹力做功． 3．守恒表达式 观点 表达式  守恒观点 E1＝E2，Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2＝恒量  转化观点 ΔEk＝－ΔEp  转移观点 ΔEA减＝ΔEB增   【针对训练】 2.
图5－3－2 如图5－3－2所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在将弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的是(　　) A．重力势能和动能之和总保持不变 B．重力势能和弹性势能之和总保持不变 C．动能和弹性势能之和总保持不变 D．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变 【解析】　在小球与弹簧相互作用过程中，重力势能、弹性势能和动能相互转化，总和保持不变，D正确；重力势能一直减小，故动能和弹性势能之和一直增大，C错误；动能先增大后减小，故重力势能与弹性势能之和先减小后增大，B错误；因弹性势能一直增大，故重力势能与动能之和一直减小，A错误． 【答案】　D
(对应学生用书第78页)
机械能守恒条件的理解  1.守恒条件 机械能守恒的条件是只有重力、弹力做功，可以从以下三方面理解： (1)只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒． (2)受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功． (3)弹力做功伴随着弹性势能的变化，并且弹力做的功等于弹性势能的减少量． 2．几种常见情况分析 (1)水平面上物体做匀速直线运动或匀速圆周运动，其机械能保持不变． (2)光滑斜面上的物体沿斜面匀加速下滑或匀减速上滑时机械能守恒．若物体受摩擦力或其他力作用匀速下滑或匀速上滑，则机械能不守恒． (3)物体在竖直面内的光滑轨道上运动时，轨道支持力不做功，则机械能守恒． (4)细线悬挂的物体在竖直平面内摆动，悬线的拉力不做功，则机械能守恒． (5)抛体运动．如平抛、斜抛，不考虑空气阻力的过程中机械能守恒．

(1)物体做匀速直线运动或物体所受合外力为零，不是机械能守恒的条件． (2)如果除重力、弹力外，还有其他力做功，但其他力做功之和为零，该种情况下只能说机械能不变，不能说机械能守恒．
　(2013届银川一中检测)在如图5－3－3所示的物理过程示意图中，甲图为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车，B静止，A获得一向右的初速度后向右运动，某时刻连接两车的细绳绷紧，然后带动B车运动；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动．则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是(　　)
甲　　　　　　乙　　　　　　丙　　　　　　丁 图5－3－3 A．甲图中小球机械能守恒 B．乙图中小球A的机械能守恒 C．丙图中两车组成的系统机械能守恒 D．丁图中小球的机械能守恒 【解析】　甲图过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒；乙图过程中A、B两球通过杆相互影响(例如开始时A球带动B球转动)，轻杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以每个小球的机械能不守恒，但把两个小球作为一个系统时机械能守恒；丙图中绳子绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功，但弹力突变有内能转化，机械能不守恒；丁图过程中细绳也会拉动小车运动，取地面为参考系，小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，小球的机械能不守恒，把小球和小车当做一个系统，机械能才守恒． 【答案】　A 【即学即用】 1．(2013届铜川模拟)如图5－3－4所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是(　　)
图5－3－4 A．斜劈对小球的弹力不做功 B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒 C．斜劈的机械能守恒 D．小球重力势能减少量等于斜劈动能的增加量 【解析】　不计一切摩擦，小球下滑时，小球和斜劈组成的系统只有小球重力做功，系统机械能守恒，故B正确，C错误；小球重力势能的减少量应等于小球和斜劈动能的增加量之和，D错误；斜劈对小球的弹力与小球位移间夹角大于90°，故此弹力做负功，A错误． 【答案】　B
机械能守恒定律的表达式及应用  1.三种守恒表达式的比较 表达     角度 表达公式 表达意义 注意事项  守恒     观点 Ek＋Ep＝    Ek′＋Ep′ 系统初状态的机械能的总和与末状态机械能的总和相等 应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能   转化     观点 ΔEk＝－ΔEp 表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能 应用时关键在于分清重力势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差  转移     观点 ΔE增＝ΔE减 若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等 常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题  2.应用机械能守恒的方法步骤 (1)选取研究对象 (2)根据受力分析和各力做功情况分析，确定是否符合机械能守恒条件． (3)确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况． (4)选择合适的表达式列出方程，进行求解． (5)对计算结果进行必要的讨论和说明．
　(2012·海南高考)如图5－3－5，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的圆弧轨道，两轨道相切于B点．在外力作用下，一小球从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时撤除外力．已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，重力加速度大小为g.求
图5－3－5 (1)小球在AB段运动的加速度的大小； (2)小球从D点运动到A点所用的时间． 【审题视点】　(1)竖直平面，光滑圆弧轨道． (2)小球A→B，匀加速，且AB长度等于轨道半径R. (3)小球刚好能过圆轨道最高点C. 【解析】　(1)小球在BCD段运动时，受到重力mg、轨道正压力N的作用，如图所示．根据题意，N≥0，且小球在最高点C所受轨道正压力为零
NC＝0① 设小球在C点的速度大小为vC，根据牛顿第二定律有 mg＝m② 小球从B点运动到C点，机械能守恒．设B点处小球的速度大小为vB，有 mv＝mv＋2mgR③ 由于小球在AB段由静止开始做匀加速运动，设加速度大小为a，由运动学公式有 v＝2aR④ 由②③④式得a＝g.⑤ (2)设小球在D处的速度大小为vD，下落到A点时的速度大小为v，由机械能守恒有 mv2＝mv＋mgR⑥ mv2＝mv2⑦ 设从D点运动到A点所用的时间为t，由运动学公式得 gt＝v－vD⑧ 由④⑤⑥⑦⑧式得 t＝(－) . 【答案】　(1)g　(2)(－)  【即学即用】 2．(2013届渭南模拟)如图5－3－6所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径R＝0.5 m，轨道在C处与水平地面相切，在C处放一小物块，给它一水平向左的初速度v0＝5 m/s，结果它沿CBA运动，通过A点，最后落在水平地面上的D点，求C、D的距离x(重力加速度g取10 m/s2)．
图5－3－6 【解析】　设小物块质量为m，它从C点经B到达A点时速度为v.由机械能守恒有mv＝mv2＋2mgR① 物块由A到D做平抛运动，设时间为t，水平位移为x， 2R＝gt2② x＝vt③ 由①②③式联立代入数据得x＝1 m. 【答案】　1 m
(对应学生用书第80页)
多物体系统中的机械能守恒  应用机械能守恒定律解题时，常会遇到由多个物体组成的系统问题，这时应注意选取研究对象，分析研究过程，判断系统的机械能是否守恒，列方程时还要注意分析物体间的速度关系和位移关系．
　
图5－3－7 如图5－3－7所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h＝0.2 m，开始时让连着A的细线与水平杆的夹角θ1＝37°，由静止释放B，当细线与水平杆的夹角θ2＝53°时，A的速度为多大？在以后的运动过程中，A所获得的最大速度为多大？(设B不会碰到水平杆，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，取g＝10 m/s2) 【潜点探究】　(1)A、B之间只有动能和势能转化，可考虑系统机械能守恒． (2)连A的细线与水平杆夹角θ1＝37°→θ2＝53°，可由几何关系求出物体B下落高度． (3)线长一定，θ＜90°A加速，θ＞90°A减速．θ＝90°时，A的速度最大． 【规范解答】　A、B两物体组成的系统，只有动能和势能的转动，机械能守恒．设θ2＝53°时，A、B两物体的速度分别为vA、vB，B下降的高度为h1，则有mgh1＝mv＋mv. 其中h1＝－. vAcos θ2＝vB代入数据解以上关系式得vA＝1.1 m/s由于绳力对A做正功，使A加速，至左滑轮正下方速度最大，此时B的速度为零，此过程B下降高度设为h2则有 mgh2＝mv 其中h2＝－h 代入数据解得 vAm＝1.6 m/s. 【答案】　见规范解答 【即学即用】 3.
图5－3－8 (2012·上海高考)如图5－3－8，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　) A．2R　　　　　　　　　B．5R/3 C．4R/3 D．2R/3 【解析】　
如图所示，以A、B两球为系统，以地面为零势能面，设A质量为2m，B质量为m，根据机械能守恒定律有：2mgR＝mgR＋×3mv2，A落地后B将以v做竖直上抛运动，即有mv2＝mgh，解得h＝R.则B上升的高度为R＋R＝R，故选项C正确． 【答案】　C
(对应学生用书第81页) ●重力势能、弹性势能与机械能守恒的判断 1．(2011·新课标全国高考)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是(　　) A．运动员到达最低点前重力势能始终减小 B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加 C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒 D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关 【解析】　到达最低点前高度始终在降低，所以重力势能始终减小，故A正确．绳张紧后的下落过程，伸长量逐渐增大，弹力做负功，弹性势能增大，故B正确．在蹦极过程中，只有重力与系统内弹力做功，故系统机械能守恒，C正确．重力势能的改变与重力做功有关，重力做功只与始末位置高度差有关，与零势能面的选取无关，故D错误． 【答案】　ABC ●机械能守恒与功率的综合 2．(2013届徐州模拟)用长度为l的细绳悬挂一个质量为m的小球，将小球移至和悬点等高的位置使绳自然伸直．放手后小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最低点的势能取作零，则小球运动过程中第一次动能和势能相等时重力的瞬时功率为(　　) A．mg　　　　　　　　B.mg C.mg D.mg 【解析】　设第一次小球动能与势能相等时的速度大小为v，由机械能守恒定律得：mgl＝mv2＋Ep，Ep＝mv2，解得v＝，此时v与水平方向夹角为60°，故P＝mgvsin 60°＝mg，C正确． 【答案】　C ●系统的机械能守恒 3.
图5－3－9 (2013届吴中检测)轻杆AB长2L，A端连在固定轴上，B端固定一个质量为2m的小球，中点C固定一个质量为m的小球．AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动．现将杆置于水平位置，如图5－3－9所示，然后由静止释放，不计各处摩擦与空气阻力，则下列说法正确的是(　　) A．AB杆转到竖直位置时，角速度为  B．AB杆转到竖直位置的过程中，B端小球的机械能的增量为mgL C．AB杆转动过程中杆CB对B球做正功，对C球做负功，杆AC对C球做正功 D．AB杆转动过程中，C球机械能守恒 【解析】　在AB杆由静止释放到转到竖直位置的过程中，以B球的最低点为零势能点，根据机械能守恒定律有： mg·2L＋2mg(2L)＝mgL＋×2m(ω·2L)2＋m(ωL)2， 解得角速度ω＝，A项正确．在此过程中，B端小球机械能的增量为：ΔEB＝E末－E初＝·2m(ω·2L)2－2mg·(2L)＝mgL，B项正确．AB杆转动过程中，杆AC对C球不做功，杆CB对C球做负功，对B球做正功，C项错．C球机械能不守恒，B、C球系统机械能守恒，D项错． 【答案】　AB ●机械能守恒定律在平抛运动中的应用 4.
图5－3－10 (2012·大纲全国高考)一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状．此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面．如图5－3－10所示，以沟底的O点为原点建立坐标系xOy.已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y＝x2，探险队员的质量为m.人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g. (1)求此人落到坡面时的动能； (2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？ 【解析】　(1)设该队员在空中运动的时间为t，在坡面上落点的横坐标为x，纵坐标为y.由运动学公式和已知条件得 x＝v0t① 2h－y＝gt2② 根据题意有y＝③ 由机械能守恒，落到坡面时的动能为 mv2＝mv＋mg(2h－y)④ 联立①②③④式得mv2＝m(v＋)．⑤ (2)⑤式可以改写为v2＝(－)2＋3gh⑥ v2取极小的条件为⑥式中的平方项等于0，由此得 v0＝⑦ 此时v2＝3gh，则最小动能为 (mv2)min＝mgh.⑧ 【答案】　(1)m(v＋)　(2)v0＝时落坡动能最小为mgh ●弹簧弹性势能与机械能守恒 5.
图5－3－11 (2011·福建高考)如图5－3－11为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧．投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去．设质量为m的鱼饵到达管口C时，对管壁的作用力恰好为零．不计鱼饵在运动过程中的机械 能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能．已知重力加速度为g.求： (1)质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v1； (2)弹簧压缩到0.5R时的弹性势能Ep. 【解析】　(1)质量为m的鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供，则 mg＝① 由①式解得v1＝.② (2)弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由机械能守恒定律有 Ep＝mg(1.5R＋R)＋mv③ 由②③式解得 Ep＝3mgR.④ 【答案】　(1)　(2)3mgR 　　　　　　　

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