第三讲 圆周运动
1．在一棵大树将要被伐倒的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯着树梢，根据树梢的运动情形就能判断大树正在朝着哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤．为什么要“双眼紧盯树梢”？以下解释正确的是( )
A．伐木工人所关注的是树梢的线速度
B．伐木工人所关注的是树梢的角速度
C．伐木工人所关注的是树梢的向心加速度
D．伐木工人所关注的是树梢的向心力
解析 树木开始倒下时，树各处的角速度一样大，由v＝ωr可知，树梢的线速度最大，易判断树倒下的方向，A正确．
答案 A
2．自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RB＝4RA、RC＝8RA，正常骑行时三轮边缘的向心加速度之比aA:aB:aC等于( )
A．1:1:8 B．4:1:4
C．4:1:32 D．1:2:4
解析 因为A、C的角速度相同，A、B的线速度大小相同，所以＝＝，＝＝，故aA:aB:aC＝ωAvA:ωBvB:ωCvC＝4:1:32.
答案 C
3．世界一级方程式锦标赛新加坡大奖赛赛道单圈长5.067公里，共有23个弯道，如图所示，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，则以下说法正确的是( )
A．是由于赛车行驶到弯道时，运动员未能及时转动方向盘才造成赛车冲出跑道的
B．是由于赛车行驶到弯道时，运动员没有及时加速才造成赛车冲出跑道的
C．是由于赛车行驶到弯道时，运动员没有及时减速才造成赛车冲出跑道的
D．由公式F＝mω2r可知，弯道半径越大，越容易冲出跑道
解析 赛车在水平面上转弯时，它需要的向心力是由赛车与地面间的摩擦力提供的．由F＝m知，当v较大时，赛车需要的向心力也较大，当摩擦力不足以提供其所需的向心力时，赛车将冲出跑道．
答案 C
4．有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁，做匀速圆周运动．图中有两位驾驶摩托车的杂技演员A、B，他们离地面的高度分别为hA和hB，且hA>hB，下列说法中正确的是( )
A．A摩托车对侧壁的压力较大
B．A摩托车做圆周运动的向心力较大
C．A摩托车做圆周运动的周期较小
D．A摩托车做圆周运动的线速度较大
解析
以摩托车为研究对象受力分析如图所示，则有FNsinθ＝mg，FNcosθ＝m＝mR2，因侧壁与地面之间的夹角θ与h无关，故压力FN不变，向心力不变，h越高，R越大，则T变大，v变大．
答案 D
5．如图所示，某游乐场有一水上转台，可在水平面内匀速转动．沿半径方向面对面，手拉手坐着甲、乙两个小孩，假设两小孩的质量相等，他们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两小孩刚好还未发生滑动时，某一时刻两小孩突然松手，则两小孩的运动情况是( )
A．两小孩均沿切线方向滑出后落入水中
B．两小孩均沿半径方向滑出后落入水中
C．两小孩仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动而落入水中
D．甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，乙发生滑动最终落入水中
解析 在松手前，甲、乙两小孩做圆周运动的向心力均由静摩擦力及拉力的合力提供，且静摩擦力均达到了最大静摩擦力．因为这两个小孩在同一个圆盘上转动，故角速度ω相同，设此时手上的拉力为FT，则对甲fm甲－FT＝mω2R甲．对乙FT＋fm乙＝mω2R乙，当松手时，FT＝0，乙所受的最大静摩擦力小于所需要的向心力，故乙做离心运动，然后落入水中．甲所受的静摩擦力变小，与他所需要的向心力相等，故甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，D正确．
答案 D
6．中央电视台《今日说法》栏目报道了一起发生在湖南长沙某区湘府路上的离奇交通事故．家住公路拐弯处的张先生和李先生在三个月内连续遭遇七次大卡车侧翻在家门口的场面，第八次有辆卡车冲撞进李先生家，造成三死一伤和房屋严重损毁的血腥惨案．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图所示．交警根据图示作出以下判断，你认为正确的是( )
A．由图可知卡车在拐弯时发生侧翻是因为车做离心运动
B．由图可知卡车在拐弯时发生侧翻是因为车做向心运动
C．公路在设计上可能内高外低
D．公路在设计上可能外高内低
解析 卡车进入民宅，远离圆心，因而车做离心运动，A对，B错；卡车在水平公路上拐弯时，静摩擦力提供向心力，此处，卡车以与水平公路上相同速度拐弯，易发生侧翻，摩擦力不足以提供向心力；也可能是路面设计不合理，内高外低．重力沿斜面方向的分力背离圆心而致，C对，D错．
答案 AC
7．在光滑圆锥形容器中，固定了一根光滑的竖直细杆，细杆与圆锥的中轴线重合．细杆上穿有小环(小环可以自由转动，但不能上下移动)，小环上连接一轻绳，与一质量为m的光滑小球相连，让小球在圆锥内做水平面上的匀速圆周运动，并与圆锥内壁接触．如图所示，图①中小环与小球在同一水平面上，图②中轻绳与竖直轴成θ角．设图①和图②中轻绳对小球的拉力分别为Ta和Tb，圆锥内壁对小球的支持力分别为Na和Nb，则下列说法中正确的是( )
A．Ta一定为零，Tb一定为零
B．Ta可以为零，Tb可以不为零
C．Na一定不为零，Nb可以为零
D．Na可以为零，Nb可以不为零
解析 图①中，若圆锥对小球的支持力与小球重力的合力等于小球运动所需的向心力时，Ta可以为零，由于小球受向下的重力作用，故Na一定不为零．图②中，若绳对小球的拉力与小球重力的合力等于小球所需的向心力时，Nb可以为零，但Tb可以不为零，正确答案为B、C.
答案 BC
8．在观看双人花样滑冰表演时，观众有时会看到女运动员被男运动员拉着离开冰面在空中做水平方向的匀速圆周运动．如图所示，已知通过目测估计拉住女运动员的男运动员的手臂和水平冰面的夹角约为45°，重力加速度为g＝10 m/s2，若已知女运动员的体重为35 kg，据此可估算该女运动员( )
A．受到的拉力约为350 N
B．受到的拉力约为350 N
C．向心加速度约为10 m/s2
D．向心加速度约为10 m/s2
解析 以女运动员为研究对象，受力分析如图．根据题意有G＝mg＝350 N；则由图易得女运动员受到的拉力约为350 N，A正确；向心加速度约为10 m/s2，C正确．
答案 AC
9．如图所示，小球紧贴在竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时， 内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
解析 小球沿管上升到最高点的速度可以为零，故A错误，B正确；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力FN与球重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力，即FN－Fmg＝ma，因此，外侧管壁一定对球有作用力，而内侧壁无作用力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力与小球速度大小有关，D错误．
答案 BC
10．如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上，小孔与绳没有接触．小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)．现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都在桌面上保持静止，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )
A．Q受到桌面的支持力变大
B．Q受到桌面的静摩擦力变大
C．小球P运动的角速度变大
D．小球P运动的周期变大
解析 小球所需的向心力为绳的拉力与重力的合力，即Fn＝mgtanθ，θ为绳与竖直方向的夹角，当小球到更高的水平面做匀速圆周运动时，θ增大，所需的向心力增大，对Q，由平衡知识可知，受桌面的静摩擦力增大，B正确；支持力仍为两者的重力之和，A错误；由Fn＝mgtanθ＝mω2Lsinθ可得角速度变大，C正确．
答案 BC
11．如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块．求：
(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；
(2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．
解析 (1)如图，当圆锥筒静止时，物块受重力mg、摩擦力f和支持力N.
由题意可知
f＝mgsinθ＝mg ①
N＝mgcosθ＝mg. ②
(2)物块受到重力和支持力的作用，设圆筒和物块匀速转动的角速度为ω
竖直方向Ncosθ＝mg ③
水平方向Nsinθ＝mω2r ④
联立③④，得
ω＝
其中tanθ＝，r＝
ω＝.
答案 (1)mg mg
(2)
12．有一质量为1.2×103 kg的小汽车驶上半径为50 m的圆弧形拱桥．求：
(1)汽车到达桥顶的速度为10 m/s时对桥的压力的大小；
(2)设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度至少多大．(重力加速度g取10 m/s2，地球半径R取6.4×103 km)
解析 (1)根据牛顿第二定律mg－FN＝m，
解得FN＝mg－m＝9.6×103 N，
根据牛顿第三定律汽车对桥的压力F′N＝FN＝9.6×103 N.
(2)根据牛顿第二定律mg＝m，
解得v2＝＝8×103 m/s.
答案 (1)9.6×103 N
(2)8×103 m/s
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