课时作业17
机械能守恒定律 能的转化和守恒定律
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(8×8′＝64′)
1．下列几种情况，系统的机械能守恒的是( )
A．图(a)中一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动
B．图(b)中运动员在蹦床上越跳越高
C．图(c)中小车上放一木块，小车的左侧有弹簧与墙壁相连．小车在左右振动时，木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)
D．图(c)中如果小车振动时，木块相对小车有滑动
解析：A选项弹丸只受重力与支持力，支持力不做功，只有重力做功，所以机械能守恒．B选项中运动员做功，其机械能越来越大．C选项中只有弹簧弹力做功，机械能守恒．D选项中有滑动摩擦力做功，所以机械能不守恒．
答案：AC
2．如下图所示，A、B两球质量相等，A球用不能伸长的轻绳系于O点，B球用轻弹簧系于O′点，O与O′点在同一水平面上．分别将A、B球拉到与悬点等高处，使绳和轻弹簧均处于水平，弹簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当两球达到各自悬点的正下方时两球恰好仍处在同一水平面上，则( )
A．两球到达各自悬点的正下方时，两球动能相等
B．两球到达各自悬点的正下方时，A球动能较大
C．两球到达各自悬点的正下方时，B球动能较大
D．两球到达各自悬点的正下方时，A球损失的重力势能较多
解析：A球下摆过程中，因机械能守恒mgL＝mv①
B球下摆过程中，因机械能守恒
mgL＝EP弹＋mv②
由①②得mv＝EP弹＋mv
可见mv>mv，B正确．
答案：B
3．两个底面积都是S的圆筒，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为h1和h2，如下图所示．已知水的密度为ρ.现把连接两桶的阀门打开，最后两桶水面高度相等，则这过程中重力所做的功等于( )
A.ρgS(h1－h2)2 B．ρgS(h1－h2)2
C.ρgS(h1－h2)2 D．ρgSh
解析：由于水是不可压缩的，把连接两桶的阀门打开到两桶水面高度相等的过程中，利用等效法把左管高以上部分的水等效的移至右管．最后用功能关系，重力所做的功等于重力势能的减少量，如图阴影部分从左管移至右管所减少的重力势能为
ΔEP＝() ρgS()＝ρgS(h1－h2)2
所以重力做的功WG＝ρgS(h1－h2)2.
答案：C
4．如图，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球．给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动，在此过程中( )
A．小球的机械能守恒
B．重力对小球不做功
C．绳的张力对小球不做功
D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少
解析：小球做圆周运动的过程中，因有摩擦力做功，故小球机械能不守恒，选项A错误；在斜面内上升过程，重力做负功，下降过程，重力做正功，选项B错误；因绳张力总与速度垂直(指向圆心)，故绳的张力不做功，选项C正确；由功能关系可知，小球克服摩擦力做功等于机械能的减少，故选项D错误．
答案：C
5．如下图所示，质量为M、长度为L的小车静止在光滑的水平面上．质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端．现用一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动．物块和小车之间的摩擦力为Ff.物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为l.在这个过程中，以下结论正确的是( )
A．物块到达小车最右端时具有的动能为(F－Ff)(L＋l)
B．物块到达小车最右端时，小车具有的动能为Ffl
C．物块克服摩擦力所做的功为Ff(L＋l)
D．物块和小车增加的机械能为Fl
解析：根据动能定理，物块到达最右端时具有的动能为Ek1＝△Ek1＝F·(L＋l)－Ff·(L＋l)＝(F－Ff)·(L＋l)，A正确．物块到达最右端时，小车具有的动能可根据动能定理列式：Ek2＝△Ek2＝Ffl，B正确．由功的公式，物块克服摩擦力所做的功为Wf＝Ff(L＋l)，C正确．物块增加的机械能Ekm＝(F－Ff)(L＋l)，小车增加的机械能EkM＝Ffl，物块和小车增加的机械能为Ekm＋EkM＝F·(L＋l)－FfL.或直接由功能关系得结论，D错误．
答案：ABC
6．一物块从如下图所示的弧形轨道上的A点由静止开始滑下，由于轨道不光滑，它仅能滑到B点．由B点返回后，仅能滑到C点，已知A、B高度差为h1，B、C高度差为h2，则下列关系正确的是( )
A．h1＝h2 B．h1h2 D．h1、h2大小关系不确定
解析：由能的转化和守恒定律可知，物块由A到B的过程中重力势能减少mgh1，全部用于克服摩擦力做功，即WfAB＝mgh1，同理：WfBC＝mgh2，又随着小滑块最大高度的降低，运动过程中的同位置处滑块对轨道的压力变小，必有WfAB>WfBC，所以mgh1>mgh2，得：h1>h2，C项正确．
答案：C
7．半径为R的四分之一竖直圆弧轨道，与粗糙的水平面相连，如下图所示．有一个质量为m的均匀细直杆搭放在圆弧两端，若释放细杆，它将开始下滑，并且最后停在水平面上．在上述过程中( )
A．杆克服摩擦力所做的功为mgR
B．杆克服摩擦力所做的功为mgR
C．重力所做的功为mgR
D．外力做的总功为mgR
解析：在杆滑动的过程中，杆不能看作质点，重力所做的功为mg·R，摩擦力所做的功为Wf，杆受到的支持力对杆不做功，根据动能定理有mg·R＋Wf＝0－0，可得Wf＝－mgR，即合外力所做的总功为0，杆克服摩擦力所做的功为mgR，故只有B正确．
答案：B
8．沙河抽水蓄能电站自2003年投入运行以来，在缓解用电高峰电力紧张方面，取得了良好的社会效益和经济效益．抽水蓄能电站的工作原理是，在用电低谷时(如深夜)，电站利用电网多余电能把水抽到高处蓄水池中，到用电高峰时，再利用蓄水池中的水发电，如下图所示，蓄水池(上游水库)可视为长方体，有效总库容量(可用于发电)为V，蓄水后水位高出下游水面H，发电过程中上游水库水位最大落差为d.统计资料表明，该电站年抽水用电为2.4×108 kW·h，年发电量为1.8×108 kW·h.则下列计算结果正确的是(水的密度为ρ，重力加速度为g，涉及重力势能的计算均以下游水面为零势能面)( )
A．能用于发电的水的最大重力势能Ep＝ρVgH
B. 能用于发电的水的最大重力势能Ep＝ρVg(H－)
C．电站的总效率达75%
D．该电站平均每天所发电能可供给一个大城市居民用电(电功率以105 kW计)约10 h
解析：以下游水面为零势能面，则用于发电的水的重心位置离下游水面高为(H－)，故其最大重力势能Ep＝ρVg(H－)，A错，B对；电站的总效率η＝×100%＝×100%＝75%，故C对；设该电站平均每天发电可供一个大城市居民用电t小时，则：Pt＝.代入数据得t＝5 h，故D错．
答案：BC
二、计算题(3×12′＝36′)
9. 是竖直平面内的四分之一圆弧轨道，在下端B与水平直轨道相切，如下图所示，一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑．已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦，求：
(1)小球运动到B点时的动能；
(2)小球下滑到距水平轨道的高度为R时速度的大小和方向；
(3)小球经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力FNB、FNC各是多大？
解析：以BC面所在的平面为零势能面
(1)根据机械能守恒定律得：Ek＝mgR
(2)根据机械能守恒定律得：ΔEk＝ΔEp
mv2＝mgR
小球速度大小为v＝
速度方向沿圆弧的切线向下，与竖直方向成30°角．
(3)根据牛顿运动定律及机械能守恒定律，
在B点：FNB－mg＝m，mgR＝mv
解得FNB＝3mg，在C点：FNC＝mg.
答案：(1)mgR (2)，沿圆弧的切线向下与竖直方向成30°角 (3)3mg mg
10．如下图所示，摆球的质量为m，从偏离水平方向θ＝30°的位置由静止释放，求：
(1)小球运动到最低点A时绳子受到的拉力是多大？
(2)整个过程中小球的机械能还守恒吗？
解析：(1)设悬线长为l，小球被释放后，先做自由落体运动，直到下落高度为h＝2lsinθ＝l，处于松弛状态的细绳被拉直为止．如右图所示，这时，小球的速度方向竖直向下，大小为v＝.
当绳刚被拉直时，在绳的冲力作用下，速度v的法向分量vn减为零(相应的动能转化为绳的内能)；小球以切向分量vτ＝vcos30°，开始做变速圆周运动到最低点．根据后一过程中机械能守恒，有
m(vcos30°)2＋mgl(1－cos60°)＝mv
在最低点A，根据牛顿第二定律，又有F－mg＝m
所以，绳的拉力为F＝mg＋m＝3.5mg.
(2)整个过程中小球的机械能不守恒，细绳被拉直的瞬间小球的动能有损失，相应的动能转化为绳的内能．
答案：(1)3.5 mg (2)不守恒
11．如下图所示，传送带与水平面之间的夹角为θ＝30°，其上A、B两点间的距离为l＝5 m，传送带在电动机的带动下以v＝1 m/s的速度匀速运动，现将一质量为m＝10 kg的小物体(可视为质点)轻放在传送带的A点，已知小物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝/2，在传送带将小物体从A点传送到B点的过程中，求：(g取10 m/s2)
(1)传送带对小物体做的功；
(2)电动机做的功．
解析：(1)物块加速上升时的加速度
a＝＝2.5 m/s2
当小物体的速度v＝1 m/s时，时间为t，位移为l1，
则v＝at，l1＝at2
解得t＝0.4 s，l1＝0.2 m
之后，小物体与传送带保持相对静止，即以v＝1 m/s的速度走完4.8 m的路程．
由功能关系得W＝mv2＋mglsinθ＝255 J.
(2)小物块与传送带的相对位移
△l＝vt－t＝0.2 m
摩擦生热Q＝μmg·cosθ·△l＝15 J
故电动机做的功为
W机＝W＋Q＝270 J.
答案：(1)255 J (2)270 J
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